NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

Média aritmética simples

Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n.

Por exemplo, a média entre 5, 10 e 6 será:

Média ponderada

Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

MODA
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

· Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.

Mediana

A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

EXERCÍCIOS

· 1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:
· a) 15 ; 48 ; 36
·
· b) 80 ; 71 ; 95 ; 100
·
· c) 59 ; 84 ; 37 ; 62 ; 10
·
· d) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
·
· e) 18 ; 25 ; 32
·
· f) 91 ; 37 ; 84 ; 62 ; 50
·

· 2) João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos:
Inglês
1ª prova => 6,5
2ª prova => 7.8
3ª prova => 8,0
4ª prova => 7,1

Português
1ª prova => 7,5
2ª prova => 6,9
3ª prova => 7,0
4ª prova =>8,2
·
·

História
1ª prova =>5,4
2ª prova => 8,3
3ª prova => 7,9
4ª prova => 7,0

·
Matemática
1ª prova => 8,5
2ª prova => 9,2
3ª prova => 9,6
4ª prova => 10,0

· · 3 – PUC – MG) No concurso para o Tribunal de Alçada, os candidatos fizeram provas de Português, Conhecimentos Gerais e Direito, respectivamente com pesos 2, 4 e 6. Sabendo-se que cada prova teve o valor de 100 pontos, o candidato que obteve 68 em Português, 80 em Conhecimentos Gerais e 50 em Direito, teve média:

a) 53 b) 56 c) 63 d) 66 e) 72

4) Considerando os conjuntos de dados:
a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 RESP: x = 5,1; Md = 5; Mo = 5
b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7 x = 9; Md = 7; Mo = 7
c. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 x = 49,8; Md = 49,5; Mo = Æ
d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 x = 15,1; Md = 15; Mo = Æ
calcule:
I. a média; II. a mediana; III. a moda.





5) O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são:
R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 e R$88,00
Determine:
a. a média dos salários-hora; R$ 96,00
b. o salário-hora mediano. R$ 88,00

6. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
Determine:
a) a nota média; 7,9
b) a nota mediana; 7,8
c) a nota modal. 7,2

7. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:

NOTA 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1

Determine:
a) a nota média; 5,9

b) a nota mediana; 6,0

c) a nota modal. 6

8.. Considere um grupo formado por cinco amigos com idade de 13, 13, 14, 14 e 15 anos. O que acontece com a média de idade desse grupo, se um sexto amigo com 16 anos juntar-se ao grupo? positivo
a) Permanece a mesma b) Diminui 1 ano c) Aumenta 12 anos
d) Aumenta mais de 1 ano e) Aumenta menos de 1 ano



9. Numa população, a razão do número de mulheres para o de homens é de 11 para 10. A idade média das mulheres é 34 e a idade média dos homens é 32. Então, a idade média da população é aproximadamente: positivo
a) 32,9 b) 32,95 c) 33,00 d) 33,05 x e) 33,10



10. Determine a média aritmética de:
RES; 64,5
VALORES 50 60 80 90
QUANTIDADES 8 5 4 3

FUNÇÃO DE 2° GRAU/QUADRÁTICA

A Função Quadrática
Uma função quadrática é definida como uma função que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma parábola. É expressa por:

Concavidade do gráfico da função quadrática
A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

Zeros (ou raízes) de uma função quadrática
Os zeros da função quadrática são os valores de x, para a imagem ser 0, ou seja onde o gráfico corta o "eixo x". O número de zeros depende do valor do discriminante, ou delta, definido por .
Se 0 delta maior que 0 a função terá dois zeros.
Se , o delta igual 0 a equação terá um zero apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem dois zeros iguais)
Se , o delta menor que zero não temos nº reais, tendo dois zeros COMPLEXOS

Vértice da parábola
O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas

:

Construa o gráfico da função y = x² - 4x + 3
a = 1 > 0 → concavidade voltada para cima
zeros da função
x² - 4x + 3 = 0
Δ = (-4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4

Exercicios:

Construir os Graficos das funções dadas

y = x² - 4x – 3 ( a = 1, b = -4, c = -3)
f(x) = x² - 9 ( a = 1, b = 0, c = -9)
f(x) = 4x² + 2x – 3 ( a = 4, b = 2, c = -3)
f(x) = 6x² ( a = 6, b = 0, c = 0)
f(x) = -2x² + 5x + 1 ( a = -2 , b = 5 , c = 1)
f(x) = -4x² + 2x ( a = -4 , b = 2 , c = 0)

y = -x² + 2x - 1.

y = -x² + 2x – 4

y = 2x²

Funções de 2º Grau:
1) Escolha 3 valores para X , encontre Y e monte o gráfico das funções:
a) y= x² -x b) y= x² - 3x + 4 c) y= x² - 16
d) y= -9x² + 6x – 1 e) y= 3x² - 15x f) y= -3x² - 2x + 1
g) y= x² + 4 h) y= - x² + 4x i) y= x² + 2x – 3
j) y= -x² + 4x -5 l) y= 4x² -4x + 1 m) y= x² + 4

FUNÇÃO 1º GRAU OU AFIM

Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a DIFERENTE de 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Função crescente: A função é crescente quando na função, o valor de x aumenta e o valor da imagem de x também aumenta. x2 > x1 → f(x2) > f(x1). E quando a>0 a função é crescente

A função é decrescente quando na função, o valor de x aumenta e o valor da imagem de x

diminui. x2 > x1 → g(x2) <>

Coeficientes numéricos
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.

• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).

Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:

EXERCICIOS DE FUNÇÕES de 1º GRAU
1) Dada as funções, escolha três valores para X, determine Y e monte o gráfico com os pontos formados pelos pares:
a) y= 2x b) y= - x+ 2 c) y= - x d) y= 2x -1
e) y= x + 1 f) y= x g) y= 6 – 2x h) y= 3 – x
i) y= - x + 4 j) y= 1 – 2x l)y= 3x + 1 m) y= x – 3
n) y= x – 7 o) y= -x + 10 p) y= 4x – 2 q)y= 3x – 2


2) Dados os pontos: ( 0 ; 2) ; ( 1; -1) e ( 2; -4),
Monte o gráfico e determine a função, analise se ela é crescente ou decrescente.

3)Dados os pontos: (1; 3) ; ( -1 ; -1). Monte o gráfico da função, determine a função, e analise o crescimento ou decrescimento.

3) Dada a função f(x)= - 2x: Monte o gráfico, encontre o zero da função e analise o crescimento ou decrescimento da função?

PRODUTO CARTESIANO

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

Produto cartesiano:O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é formado por todos os pares ordenados (a; b) com a Î A e b Î B. Em linguagem simbólica, escrevemos: A x B = {(a; b) a E A e b E B}.

Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 4 }.
Todos os pares ordenados (x , y) onde o primeiro elemento, x, é obtido no conjunto A e o segundo elemento, y, é obtido no conjunto B, são:
AXB = (1, 3) ; (1 , 4) ; (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 3) e (3, 4)

Domínio, Imagem e Gráficos Chama-se domínio o conjunto de todos os elementos de A que está associado à pelo menos um elemento de B. Chama-se imagem o conjunto de todos os elementos de B que são imagens de pelo menos um elemento de A. Ex. A = {(-2;4), (-1;1),(0;0_,(1;1),(2;4)} D = { -2,-1,1,0,1,2} e Im = {0,1,4}.

INTRODUÇÃO A FUNÇÃO

A ideia de função é uma das mais importantes da Matemática, ocupando lugar de destaque também em outras áreas do conhecimento. Uma justificativa para essa afirmação é que os fenômenos não ocorrem de forma independente. Ao contrário, parece cada vez mais evidente que no, universo, os fenômenos estão interligados, de modo que a ocorrência de um é consequência de outro ou, ainda depende de outro. Dizemos, então, que um fenômeno é função de outro. O fenômeno poluição é consequência de outros fenômenos e não depende apenas da fumaça produzida por fábricas e ou industrias.

Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, dizemos que uma relação F de A em B é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo elemento X pertencente ao conjunto A, existe em correspondência, um único elemento Y pertencente ao conjunto B, tal que o par ordenado ( x,y) pertença a F.

Assim para que uma função fique bem definida é necessário conhecermos os conjuntos A e B e um processo ( geralmente uma lei ) que associe a todo elemento do conjunto A, um único elemento do conjunto B.

Para indicar que uma função F tem domínio A e imagem em B, usaremos o símbolo F: A --->B ( lê-se F de A em B) e ainda se x representa um elemento qualquer do domínio A de F, indicaremos sua imagem em B por y ou por F(x) ( função de x ) logo temos Y= F(x), Portanto, numa função temos que x é a variável independente e y a variável dependente.

Ex: a) F : A-->B x--> y=2x +1 b) A-->B x--->y = -x+3

c) F(x) = 3x² + 4x ou y= 3x² + 4x

Reconhecer uma função através do diagrama de flechas

Seja F uma função de A em B. Para que uma relação seja considerada uma função, duas condições devem ser verificadas.

1. É necessário que todo elemento x pertencente ao conjunto A ,participe de pelo menos um par ordenado ( x, y) F, isto é todo elemento do conjunto A deve seguir como ponto de partida de flecha.

2. É necessário que cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.

Reconhecimento de uma função representada através do gráfico cartesiano.

Podemos reconhecer também através da representação de uma relação é ou não uma função. Para identificarmos uma função a partir de seu gráfico, traçamos retas perpendiculares ao eixo das abcissas ( eixo X), por valores pertencentes ao domínio da relação. Se todas as retas perpendiculares interceptarem ( cortarem) o gráfico da relação em apenas um ponto, este representa o gráfico de uma função. Porém, se retas perependiculares interceptarem o gráfico em dois ou mais pontos ou não cortarem o gráfico teremos a representação cartesiana de uma relação.

(Para visualizar as tarefas cliquem nas imagens!)

Contribuição do Professor José Carlos

EQUAÇÃO 2º GRAU

"A História mostra que os chefes de império que encorajaram o culto das Matemáticas, fonte comum de todas as ciências exactas, são também aqueles cujo reinado foi mais brilhante e cuja glória é mais duradoura."Autor: (Miches Charles (1783-1880))

Hoje em dia, resolver uma equação do 2º grau é uma coisa banal. Mas será que conseguimos imaginar o problema que isso era há uns séculos atrás? Bom, os Babilónicos já resolviam equações deste tipo, mesmo completas, desde 2000 a.C..

Equação do 2º grau
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c=0, com coeficientes numéricos a.b e c com a # 0 ( a diferente de zero)
Exemplos: X² + 2X + 1 = 0 ; a= 1 e b= 2 e c= 1

5X - 2X² - 1 =0 ; a= -2 e b=5 e c= -1

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 »

x= ; X=

2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x ; x(x-9)=0 » x= ( 0;9 )

3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0

Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

PROPRIEDADES

3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que D<0>

Resolver em R a equação 2x² - 10x + 12 = 0 :
Temos a = 2 , b = -10 e c = 12, então:




EXERCÍCIOS

1. x²-3x=0
2. 2 x² = 0
3. 3 x² + 7 = 0
4. 2 x² + 5 = 0
5. 10 x² = 0
6. 9 x² - 18 = 0
7. x² + 9 x + 8 = 0
8. 9 x² - 24 x + 16 =0

9. 5x² +20x- 25=0

10. 3 x² - 15 x + 12 = 0
11. 10 x² + 72 x - 64 = 0
12. x² + 6 x + 9 = 0
13. 3 x² - x + 3 = 0
14. 2 x² - 2 x - 12 = 0
15. 3 x² - 10 x + 3 = 0
16. x2 + 6x = 0
17. 6 x2 = 0
18. 3 x2 -27 = 0
19 . 2 x2 + 4 = 0
20. 10 x2 = 0
21. 3x2 +15x +12 = 0

22. x2 + 8 x + 7= 0
23. 2x2 +4x -6 = 0
24. x2 - 2 x + 4 = 0
25. 3 x2 +6 x -9 = 0
26. 2x2 + 4 x - 16 = 0
27. 3x2 + 3 x - 18 = 0
28. 3 x2 - x + 3 = 0
29. 2 x2 - 2 x - 12 = 0
30. x2 + 12x + 35 = 0
31. x2 -5x = 0
32. 2 x2 -2 = 0
33. 3 x2 -3 = 0
34. 2 x2 -8 = 0
35. 10 x2 = 0
36. 9 x2 - 81 = 0
37. 2x2 + 18x +16 = 0
38. x2 +5x -6 = 0
39. x2 - 4 x + 4 = 0
40. 3 x2 +18x -21= 0

RESPOSATAS;

1. (0;3)
2. ( 0;0 )

3. Não existe raiz em R

4. " " "

5. ( 0;0 )

6. ( + raiz de 2 ; - raiz de 2)

7. ( -1; -8 )

8. ( +raiz de 3 ; - raiz de 3)

9. Não Raiz em R

10. (1; 4 )

11. ( 4/5 ; -8)

12. ( -3; -3 )

13. Não Raiz em R

14. ( -2; 3 )

15. ( 3; 1/3 )

16. ( 0; -6 )

17. ( 0 )

18. ( -3 ; 3 )

19. Não Raiz R

20. ( 0 )

21. ( -1; -4 )

22. ( -1; -7 )

23. ( 1; -3 )

24. Não Raiz R

25. ( 1; -3 )

26. ( 2; -4 )

27. ( 2; -3 )

28. Não Raiz R

29. " " "

30. ( -5; -7 )

31. ( 0; 5 )

32. ( 1 ;-1 )

33. ( 1; -1 )

34. ( 2; -2 )

35. Não Raiz R

36. ( -3; 3 )

37. ( -1 ; -8 )

38. ( 1; -6 )

39. ( 2; 2 )

40. ( 1; -7 )

Juros Simples

Quem nunca ouviu falar do tal dos Juros? Ou das taxas de juros fixadas pelo Copom (Banco Central do Brasil), taxas selic e etc?

O regime de Juros Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o regime de juros compostos.

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).


JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

Taxa de juros
Na prática, a determinação de valores referentes a juros ocorre através de um quociente denominado taxa de juros, que sempre é relacionada com uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.)
A taxa de juros pode ser apresentada na forma percentual ou na forma decimal. Como exemplos, no primeiro caso, 20% ao ano, e no segundo, 0,20 ao ano.














Exemplo 1: Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00, comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, á taxa de juros simples de 5% ao mês



O juros é de R$ 90,00 + 600,00 = 690,00 valor devolvido ou támbem chamado de Montante





2)A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Obs: ( a taxa de juros e o tempo devem ser correlatos, ou seja se a taxa é ao mês o tempo e meses, se taxa ao ano o tempo e anos e etc.)
t =5 anos x 12 = 60 meses
C= 3000
i = 5% a.m
J = 3000 x 5 x 60 = 9000
---------------
100

M = C + J = 3000 + 9000 = 12000

3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 2% a.m. rende R$ 540,00 de juros em 90 dias?
J= C i t
------
100
540 = C x 2 x 90
------------
100
540 x100 = C x 180
54000
-------- = C ........C= 3000
180

,
EXERCICIOS


1- Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?
2- Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.
3- Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos?
4- A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?
5- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00. Qual foi esse capital?
6- Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
7- Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano?
8- Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital?
9- Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos.
10- Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?
11- É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?
12- Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. Qual é o valor desse capital?
13- Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.
14- Duas pessoas tem juntas R$ 261.640,00 e empregam o que tem à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?
15- O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00; por 9 meses a mesma taxa, é de R$ 46.256,00. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial.
16- O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em 2 partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte.
17- Maria, dispondo de R$ 3.000,00, resolveu aplicá-los em duas financeiras. Na primeira aplicou uma parte a 8% am por 6 meses e na segunda aplicou o restante a 10% am por 8 meses. Sendo de R$ 1.824,00 a soma dos juros auferidos nas duas aplicações, determine o valor dessas aplicações.
18- Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% am em juros simples. A soma desse capital mais juros, no final desse prazo, foi reaplicada à taxa de juros simples de 10% am, durante 15 meses. No final foi resgatado R$ 1.125.000,00. Calcule o valor do capital inicial aplicado.
19- Um cliente economizou durante 3 anos, obtendo uma taxa de 4% aa e depois empregou a soma deste capital e juros na compra de uma casa. O aluguel desta casa rende R$ 4600,00 por um ano, o equivalente a 5% sobre o preço da compra. Que soma o cliente depositou no banco?
20- Comprei uma bicicleta e paguei com um cheque pré-datado para 34 dias, no valor de R$ 204,00. Sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros simples de 6,5% am, calcule o preço da bicicleta se fosse adquirida à vista.
21- Um produto que a vista custa R$ 280,00 pode ser comprado com uma entrada de R$ 160,00 e mais um pagamento de R$ 127,80 para 25 dias. Determine a taxa mensal de juros simples cobrada nesta operação.
22- Uma indústria adquiriu matéria prima no valor de R$ 45.000,00, pagando no ato da compra R$ 15.000,00 e R$ 18.000,00 a ser pago no final de 45 dias após. Qual o pagamento que ainda deverá ser feito no final de 90 dias, para liquidar a dívida, sabendo-se que o vendedor cobra uma taxa linear de 45% aa?
23- Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 156.400,00. O mesmo capital diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples ganha.
24- Um capital de R$ 4.500,00 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% at, a segunda a juros simples de 6% at e a terceira a juros simples de 10% at. Se o rendimento da primeira parcela for de R$ 160,00 e o rendimento das três parcelas totalizar R$ 1.320,00, calcular o valor de cada parcela.
25- Dois capitais, um de R$ 2.400,00 e outro de R$ 1.800,00, foram aplicados a uma taxa de juros simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu R$ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.
26- Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% aa e o segundo a 45% aa. Se o rendimento de ambas as aplicações totalizou R$ 52.500,00 no prazo de um ano, determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo.
27- Há 13 meses e 10 dias um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% aa. Se hoje fosse aplicada a importância de R$ 8.000,00 a juros simples de 12% aa, e o primeiro capital continuasse aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos seriam iguais?
28- Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 200.000,00 a juros simples de 10% aa. Algum tempo depois liquidou a dívida, inclusive juros, e tomou um novo empréstimo de R$ 300.000,00 a juros simples de 8% aa. Dezoito meses após o primeiro empréstimo liquidou todos seus débitos, tendo pago R$ 35.000,00 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos dos dois empréstimos em meses.
29- Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento?
30- Uma TV em cores tela plana é vendida nas seguintes condições: R$ 1.800,00 a vista ou a prazo com 30% de entrada mais R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

1) 1.728,00
2) 4.380,00
3) 40% aa
4) 0,75% am
5) 27.000,00
6) 30% aa
7) 10 anos
8) 2 anos
9) 7.400,00
10) 12,5% aa
11) indiferente
12) 32.400,00
13) 313.600,00
14) 174.406,00; 87.234,00
15) 2% am; 39.200,00
16) 3.472,00; 4.340,00
17) 1.800,00; 1.200,00
18) 250.000,00
19) 82.142,86
20) 190,00
21) 7,8% am
22) 14.416,42
23) 108.800,00; 25% aa
24) 1.000,00; 1.500,00; 2.000,00
25) 10% aa (0,833% am)
26) 50.000,00; 80.000,00
27) 3.067 dias
28) 3m; 15m
29) 32.500,00
30) 3,65% am

Regra de Três/exercicios

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?


06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?


07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?


08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?


09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume? ( 1 m³ = 1000 litros)

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).

29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?

50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?

51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?

57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50

86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros



Respostas dos Exercícios de Regra de Três

01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões


53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 12 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw
73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra d
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c

PORCENTAGEM
Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?A quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?
2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?
4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?
5.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?
6.O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?
7) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
8) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
9)Se tivéssemos 200 caixas, e 50 delas estivessem com areia, qual seria a porcentagem de caixas vazias?

10) (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro . A diferença entre os salários é de R$ 500,00 . O salário de Antônio é:

a) $ 5500,00

b)R$ 4500,00
c)R$ 4000,00
d)R$ 5000,00
e)R$ 3500,00

11) (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo vencedor pagou aos seus apostadores R$ 9 por cada R$ 1 apostado . O rendimento de alguém que apostou no cavalo vencedor foi de:
a)
800%
b)
90%
c)
80%
d)
900%
e)
9%

18) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu peso atual é:
a)
inferior a 30 kg
b)
75 kg
c)
50 kg
d)
superior a 75 kg
e)
40 kg

Regre de Três Simples/Porcentagem

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas.
Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.

Chamamos de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor.
A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabela (em proporção) e resolvermos uma equaçâo


Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.


1 – Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos deste alimento.
































2) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?












Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.


3)Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)











Assim: 22 metros custarão R$ 110,00


Regra de três simples inversa

Nesta modalidade de regra de três são envolvidas duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando existe a variação de uma das grandezas a outra varia, porém de forma contrária, mais na mesma proporção.

































2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:



























2 – Um certo homem percorre uma via de determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 05 Km/h, ele demora 06 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma distância com uma velocidade 03 Km/h.