domingo, 5 de outubro de 2008

PRODUTO CARTESIANO









Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.


Produto cartesiano:O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é formado por todos os pares ordenados (a; b) com a Î A e b Î B. Em linguagem simbólica, escrevemos: A x B = {(a; b) a E A e b E B}.

Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 4 }.
Todos os pares ordenados (x , y) onde o primeiro elemento, x, é obtido no conjunto A e o segundo elemento, y, é obtido no conjunto B, são:
AXB = (1, 3) ; (1 , 4) ; (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 3) e (3, 4)


Domínio, Imagem e Gráficos Chama-se domínio o conjunto de todos os elementos de A que está associado à pelo menos um elemento de B. Chama-se imagem o conjunto de todos os elementos de B que são imagens de pelo menos um elemento de A. Ex. A = {(-2;4), (-1;1),(0;0_,(1;1),(2;4)} D = { -2,-1,1,0,1,2} e Im = {0,1,4}.


















INTRODUÇÃO A FUNÇÃO


A ideia de função é uma das mais importantes da Matemática, ocupando lugar de destaque também em outras áreas do conhecimento. Uma justificativa para essa afirmação é que os fenômenos não ocorrem de forma independente. Ao contrário, parece cada vez mais evidente que no, universo, os fenômenos estão interligados, de modo que a ocorrência de um é consequência de outro ou, ainda depende de outro. Dizemos, então, que um fenômeno é função de outro. O fenômeno poluição é consequência de outros fenômenos e não depende apenas da fumaça produzida por fábricas e ou industrias.


Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, dizemos que uma relação F de A em B é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo elemento X pertencente ao conjunto A, existe em correspondência, um único elemento Y pertencente ao conjunto B, tal que o par ordenado ( x,y) pertença a F.


Assim para que uma função fique bem definida é necessário conhecermos os conjuntos A e B e um processo ( geralmente uma lei ) que associe a todo elemento do conjunto A, um único elemento do conjunto B.


Para indicar que uma função F tem domínio A e imagem em B, usaremos o símbolo F: A --->B ( lê-se F de A em B) e ainda se x representa um elemento qualquer do domínio A de F, indicaremos sua imagem em B por y ou por F(x) ( função de x ) logo temos Y= F(x), Portanto, numa função temos que x é a variável independente e y a variável dependente.



Ex: a) F : A-->B x--> y=2x +1 b) A-->B x--->y = -x+3

c) F(x) = 3x² + 4x ou y= 3x² + 4x


Reconhecer uma função através do diagrama de flechas


Seja F uma função de A em B. Para que uma relação seja considerada uma função, duas condições devem ser verificadas.


1. É necessário que todo elemento x pertencente ao conjunto A ,participe de pelo menos um par ordenado ( x, y) F, isto é todo elemento do conjunto A deve seguir como ponto de partida de flecha.


2. É necessário que cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha.



Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.



Reconhecimento de uma função representada através do gráfico cartesiano.


Podemos reconhecer também através da representação de uma relação é ou não uma função. Para identificarmos uma função a partir de seu gráfico, traçamos retas perpendiculares ao eixo das abcissas ( eixo X), por valores pertencentes ao domínio da relação. Se todas as retas perpendiculares interceptarem ( cortarem) o gráfico da relação em apenas um ponto, este representa o gráfico de uma função. Porém, se retas perependiculares interceptarem o gráfico em dois ou mais pontos ou não cortarem o gráfico teremos a representação cartesiana de uma relação.






(Para visualizar as tarefas cliquem nas imagens!)



Contribuição do Professor José Carlos